# Noise의 표현과 소자 원천

:::goals
- noise를 RMS와 분산으로 말하고, 독립인 원천은 분산끼리 더한다는 것을 안다.
- read noise를 출력 µV가 아니라 **전자 수(e⁻ rms)**로 말하는 이유와, 그때 conversion gain(CG)의 역할을 설명할 수 있다.
- PSD와 ASD의 뜻과 단위를 알고, 대역에서 적분해 RMS를 얻을 수 있다.
- 저항·트랜지스터의 thermal noise와 1/f noise를 간단한 식에서 통합 모델, 시뮬레이터 모델까지 단계적으로 따라갈 수 있다.
- RTS와 FD에서 직접 생기는 noise 원천(G–R, 누설, 계면 trap)을 구분할 수 있다.
- $g_m$을 키우는 방법과 그 대가를 안다.
:::

## 한 문장으로
같은 장면을 여러 번 찍어도 픽셀 값은 매번 조금씩 다르다. 이 흔들림이 ==noise==다. noise는 평균이 0이라서 "얼마나 퍼져 있는가"로 말한다. 퍼짐의 크기는 ==RMS==(제곱 평균의 제곱근)이고, 그 제곱이 ==분산==이다.

서로 독립인 원천이 여럿이면 **분산끼리 더한다.** 40 µV와 30 µV의 독립 noise가 합쳐지면 70 µV가 아니라 $\sqrt{40^2+30^2} = 50$ µV다. 이것을 RSS(root-sum-square)라고 한다. 큰 원천 하나가 전체를 지배하기 쉬운 이유이기도 하다.

## Read noise는 전자 수로 말한다
회로에서 재는 noise는 전압이다. 그런데 이미지센서에서는 read noise를 거의 항상 **전자 수**로 말한다. 신호가 전자 수이기 때문이다. 출력에서 잰 noise 전압을 출력 conversion gain으로 나누면, "입력에서 전자 몇 개가 흔들린 것과 같은가"가 된다. 이것이 ==입력 환산 read noise==(input-referred read noise)다.

$$
\text{read noise}\;[e^-_{rms}] = \frac{V_{noise,\,rms}}{\text{CG}_{out}}
$$

출력 noise가 120 µV이고 CG가 60 µV/e⁻이면 read noise는 2 e⁻다. 이렇게 말하면 좋은 점이 셋 있다.

- **CG가 다른 픽셀끼리 공정하게 비교**할 수 있다.
- **신호와 바로 비교**할 수 있다. 신호 100 e⁻에 read noise 2 e⁻이면 SNR을 바로 어림할 수 있다.
- **CG를 키우는 효과**가 바로 보인다. 회로 noise 전압이 같아도 CG가 두 배면 read noise는 절반이다. 04장에서 작은 FD가 저조도에 유리하다고 한 이유다.

[[lab:irn]]

> 주의: 나누는 CG와 noise 전압은 **같은 관측점, 같은 동작 조건**의 값이어야 한다. FD에서 잰 CG로 column 출력 noise를 나누면 SF 이득만큼 틀린다. 서로 다른 위치의 원천을 합치는 방법은 11장에서 다룬다.

## CG를 정하는 FD 용량 network
CG를 계산하려면 FD에 붙은 용량을 모두 알아야 한다. 4T 픽셀의 FD에는 대략 다음 용량이 붙는다(03장).

[[fig:fd-cap-network|그림 10-1. FD node에 붙는 용량들. 고정된 단자로 가는 용량은 그대로 더하고, 함께 움직이는 SF source로 가는 C_gs는 Miller 효과로 줄여서 더한다.]]

- $C_{j,FD}$: FD 확산과 기판 사이의 접합 용량. 보통 가장 크고, 전압에 따라 변한다. FD 확산은 TG의 drain이면서 RST의 source이므로, 소자 모델로 보면 **TG의 $C_{db}$와 RST의 $C_{sb}$가 바로 이 접합 용량**이다(03장). 회로 시뮬레이션에서는 두 소자의 접합 용량에 FD 전용 확산 영역의 몫을 더한 것이 $C_j$이므로, 소자 모델의 $C_{db}$·$C_{sb}$와 따로 추출한 FD 접합 용량을 둘 다 더하지 않도록 한다.
- $C_{TG}$, $C_{RST}$: transfer gate와 reset gate의 overlap·fringing. gate가 고정되어 있으면 그냥 더한다.
- $C_{wire}$: FD에서 SF gate까지의 배선과 주변 배선 결합.
- $C_{gd,SF}$: SF drain이 전원에 고정되어 있으므로 그대로 더한다.
- $C_{gs,SF}$: 반대쪽(source)이 이득 $A$로 따라 움직이므로 $(1-A)$배로 줄어든다(04장 Miller).

$$
C_{FD,eff} = C_{j} + C_{TG} + C_{RST} + C_{wire} + C_{gd,SF} + C_{gs,SF}(1-A), \qquad \text{CG}_{out} = \frac{A\,q}{C_{FD,eff}}
$$

같은 FD 용량이라도 어느 mode(예: 추가 용량을 연결하는 저이득 mode)에서 보느냐, 어느 단자가 고정되어 있느냐에 따라 더하는 항이 달라진다. CG를 말할 때 어떤 연결 상태의 값인지를 함께 적어야 하는 이유다.

## C_gs 되먹임: noise는 실제 용량을 본다
CG에서는 $C_{gs}$가 Miller 효과로 $(1-A)$배로 줄어든다. 그렇다면 SF noise를 전자 수로 바꿀 때도 같은 줄어든 용량을 써야 할까? 답은 **아니다.**

[[fig:cgs-feedback|그림 10-2. SF의 gate 환산 noise v_n이 source를 흔들고, 그 움직임이 C_gs를 통해 떠 있는 FD로 되돌아온다.]]

SF noise $v_n$을 gate에 직렬로 놓고, 떠 있는 FD의 전하 보존을 쓰면 FD 전압 $v_g$는 다음과 같다.

$$
C_f v_g + C_{gs}(v_g - v_s) = 0,\qquad v_s = A(v_g + v_n)
$$

$$
\Rightarrow\; v_{out} = A\,v_n\,\frac{C_f + C_{gs}}{C_f + C_{gs}(1-A)}
$$

source가 흔들리면 $C_{gs}$를 통해 FD도 같은 방향으로 끌려가서, 출력 noise가 $v_n$보다 커진다. 이 출력 noise를 신호의 CG($Aq/(C_f + C_{gs}(1-A))$)로 나누면 분모가 지워진다.

$$
q_n = v_n\,(C_f + C_{gs}) \qquad \Rightarrow \qquad \text{read noise} = \frac{v_n\,(C_f + C_{gs})}{q}
$$

**신호에는 Miller로 줄어든 용량이, SF noise에는 $C_{gs}$ 전체를 포함한 실제 용량이 쓰인다.** 실효 용량으로 noise를 환산하면 read noise를 작게 잡게 된다. 회로 전체를 시뮬레이션하면 이 효과가 자동으로 들어가지만, 손계산이나 축약 모델에서는 따로 챙겨야 한다.

[[lab:cgsfb]]

이 보정은 **SF에서 생긴 noise에만** 적용된다. 원천의 위치에 따라 환산 방법이 다르다.

| 원천 위치 | 예 | 전자 수로 바꾸는 법 |
|---|---|---|
| FD에 전하로 직접 | reset noise, 누설, G–R | 그 전하가 곧 입력 환산 값 |
| SF 자신 | SF thermal·1/f·RTS | $v_n(C_f + C_{gs})/q$ |
| SF 뒤 | column, 비교기 | 같은 관측점 CG(Miller로 줄어든 용량)로 나눔 |

## 주파수로 펼쳐 보기: PSD
noise는 여러 주파수 성분의 합이다. 각 주파수 근처 1 Hz 폭에 들어 있는 분산을 ==PSD==(power spectral density)라고 하고, 단위는 V²/Hz다. 그 제곱근이 ==ASD==이고 단위는 V/√Hz다. 데이터시트의 "10 nV/√Hz"가 ASD다.

$$
\sigma^2 = \int_{f_1}^{f_2} S(f)\,df
$$

전체 분산은 PSD 곡선 아래의 면적이다. 이 교재는 양의 주파수만 쓰는 **단측** PSD를 쓴다. 음의 주파수까지 쓰는 양측 PSD와 비교할 때는 양의 주파수에서 값이 두 배 차이 난다.

## noise 식의 단계: 간단한 식에서 실제 모델로
이제부터 소자 noise의 식이 차례로 나온다. 처음에는 손으로 계산하는 간단한 식에서 출발해, 한 단계씩 실제 소자의 사정을 더해 간다. 뒤 단계는 앞 단계를 버리는 것이 아니라, 어떤 조건에서 앞 단계의 식으로 돌아가는지까지 포함하는 확장이다. 각 절 앞의 **[단계 n]** 표시가 이 표의 위치다.

| 단계 | thermal noise | 1/f noise | 더한 것 | 언제 쓰나 |
|---|---|---|---|---|
| 1. 손계산 | $4kTR$, $4kT\gamma/g_m$ | $K/(C_{ox}WLf)$ | 크기를 정하는 주요 변수 | 어림, 경향 비교 |
| 2. 물리 그림 | $4kT\gamma g_{d0}$, 약반전 $2qI_D$ | 수 요동, 이동도 요동 | noise가 생기는 기구 | 원인과 치수 의존 이해 |
| 3. 통합 모델 | 반전 전하 기반 | 수 요동 + 상관된 이동도 요동 | 바이어스 전 범위를 한 식으로 | 반전 정도가 바뀌는 회로 |
| 4. 시뮬레이터 | `tnoiMod` | `fnoiMod` | 짧은 채널, 직렬 저항, 경험 계수 | 시뮬레이션 값 해석 |
| 5. 개별 trap | — | RTS, Lorentzian | 평균이 깨지는 작은 소자 | 픽셀 분포의 꼬리 |

## 저항과 트랜지스터의 thermal noise
**[단계 1]** 저항 안의 전자는 열 때문에 무작위로 움직이고, 그 결과 양 끝에 흔들리는 전압이 생긴다. 이 ==thermal noise==는 1928년 Johnson이 측정하고 Nyquist가 이론으로 설명해 ==Johnson–Nyquist noise==(줄여서 Johnson noise)라고도 부른다. 모든 주파수에 고르게 퍼진 백색 noise이고, 열평형에 있는 저항성(에너지를 소모하는) 요소라면 재료와 상관없이 온도와 저항값만으로 크기가 정해진다. 전압원으로 쓰면 $4kTR$, 전류원으로 쓰면 $4kT/R$이다. 둘은 같은 원천을 Thévenin·Norton으로 바꿔 쓴 것이므로 하나만 쓴다.

$$
S_{v,R} = 4kTR, \qquad S_{i,R} = \frac{4kT}{R} \qquad (1\ \text{k}\Omega,\ 300\ \text{K} \Rightarrow 4.07\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}})
$$

용량은 에너지를 소모하지 않으므로 그 자체로는 thermal noise를 내지 않는다. 또 트랜지스터의 $1/g_m$ 같은 소신호 저항은 열평형의 저항이 아니므로 $4kT/R$을 그대로 쓰지 않는다.

**[단계 2]** MOSFET의 채널도 저항처럼 thermal noise를 낸다. 다만 바이어스가 걸린 채널은 열평형이 아니어서, 저항 식에 채널 상태를 나타내는 계수를 붙인다. drain 전류의 흔들림은 다음과 같이 쓴다.

$$
S_{i_d} = 4kT\,\gamma\,g_{d0}
$$

$g_{d0}$는 $V_{DS} = 0$일 때의 채널 컨덕턴스이고, $\gamma$는 채널 상태에 따른 계수다.

- **Triode, $V_{DS} \to 0$**: 채널이 그냥 저항이므로 $\gamma = 1$, 곧 Johnson noise 그대로다. 켜진 스위치는 $4kT/R_{on}$의 noise를 낸다(12장 kT/C의 출발점).
- **포화, 긴 채널**: $\gamma \approx 2/3$이고 $g_{d0} \approx g_m$이다. 그래서 흔히 $4kT\gamma g_m$으로 쓴다.
- **짧은 채널**: 강한 전기장 때문에 $\gamma$가 1보다 커지기도 한다. 정확한 값은 공정 모델에서 얻는다.

이 전류 noise를 gate 전압으로 옮기면(입력 환산) $g_m^2$로 나눈다.

$$
S_{v_g} = \frac{S_{i_d}}{g_m^2} = \frac{4kT\gamma}{g_m}
$$

**$g_m$이 클수록 gate 환산 thermal noise가 작다.** 그래서 SF나 증폭기 입력 소자의 $g_m$을 어떻게 키우느냐가 중요하다.

:::deep 약반전과 body 단자
약반전에서는 채널 noise가 shot noise처럼 행동해 $S_{i_d} \approx 2qI_D$가 되고, $g_m = I_D/(nV_T)$를 쓰면 gate 환산 값은 $2nkT/g_m$ 근처가 된다. 또 source follower처럼 bulk가 고정되고 source가 움직이는 소자에서는 $g_{mb}$가 이득을 깎으므로, 출력에서 본 noise는 $g_m$만이 아니라 $g_m + g_{mb}$와 부하가 함께 정한다(05장). 높은 주파수에서는 채널 noise가 gate로 결합되는 induced gate noise도 생기지만, 픽셀 readout 대역에서는 보통 작다.
:::

## gm을 올리려면
02장의 식을 다시 보자. 포화에서 $g_m = \sqrt{2kI_D} = 2I_D/V_{ov}$이다. $g_m$을 키우는 손잡이는 세 개다.

| 손잡이 | 효과 | 대가 |
|---|---|---|
| 전류 $I_D$를 늘린다 | $g_m \propto \sqrt{I_D}$ (강반전) | 전력, $V_{ov}$ 증가로 출력이 내려감(05장) |
| W/L을 키운다 | 같은 전류에서 $V_{ov}$가 줄어 $g_m$ 증가 | gate 용량 증가 → CG 감소, 정착 느려짐 |
| 약반전 쪽으로 간다 | $g_m/I_D$가 최대 $1/(nV_T)$ | 큰 W/L 필요, 속도 저하 |

특히 W/L을 키우는 방법은 끝없이 효과가 있지 않다. 소자가 약반전에 가까워지면 $g_m$이 $I_D/(nV_T)$에서 멈추고, 늘어난 용량만 남는다(수확 체감). 이 균형을 다루는 방법이 ==$g_m/I_D$ 설계법==이다.

> 함께 읽기: 강반전·약반전에서 $g_m$이 어떻게 달라지는지, W/L을 키울 때의 수확 체감과 $g_m/I_D$ 설계법은 MOSFET 반전 영역 교과서(InversionBook)의 "gm을 키우는 법", "gm/ID 설계 방법론", "강반전과 Square Law" 장에서 자세히 다룬다. 링크는 장 끝의 "함께 읽기"에 있다.

## 1/f noise와 corner
**[단계 1]** 채널 가까이의 결함(trap)이 전자를 잡았다 놓았다 하면서 생기는 noise는 낮은 주파수일수록 크다. PSD가 주파수에 반비례해 ==1/f noise==(flicker noise)라고 부른다. 회로 계산에서 가장 많이 쓰는 간이식은 gate 환산 형태다.

$$
S_{v_g}(f) = \frac{K}{C_{ox}WL\,f}
$$

$K$는 공정과 소자 종류(NMOS, PMOS)에 따라 달라지는 계수다. 게이트 면적 $WL$이 클수록 결함이 평균되어 작아진다. 백색 noise와 1/f noise가 같아지는 주파수를 ==1/f corner==라고 한다. corner보다 낮은 주파수에서는 1/f, 높은 주파수에서는 백색이 지배한다.

[[lab:psd]]

1/f noise는 대역을 10배 넓힐 때마다 같은 양씩 늘어난다. 그래서 아주 낮은 주파수까지 적분하면 끝없이 커진다. 실제로는 한 번 읽는 데 걸리는 시간과 CDS가 낮은 주파수 쪽을 잘라 준다(13장).

단계 1의 두 식, thermal $4kT\gamma/g_m$과 flicker $K/(C_{ox}WLf)$를 소자 치수로 함께 계산해 보자.

[[lab:devnoise]]

## 1/f noise의 물리: 수 요동과 이동도 요동
**[단계 2]** 간이식의 $K$ 뒤에는 두 가지 물리 그림이 있다.

- **수 요동(number fluctuation, McWhorter)**: 산화막 가까이의 trap이 채널 전자를 붙잡았다 놓으면 채널의 전자 수가 흔들린다. trap들의 시간 상수가 고르게 퍼져 있으면 합쳐서 1/f가 된다.

$$
S_{v_g}(f) = \frac{q^2\,kT\,\lambda\,N_t}{W L\,C_{ox}^2\,f}
$$

$N_t$는 산화막 trap 밀도(단위 에너지·부피당), $\lambda$는 전자가 산화막으로 터널링하는 감쇠 길이다. 산화막이 얇아 $C_{ox}$가 클수록, 면적이 클수록 작아진다.

- **이동도 요동(mobility fluctuation, Hooge)**: 전자의 이동도 자체가 흔들린다. 채널의 전자 수 $N$이 많을수록 상대 흔들림이 작아진다.

$$
\frac{S_{i_d}}{I_D^2} = \frac{\alpha_H}{N\,f}
$$

두 그림은 경쟁하는 설명처럼 소개되곤 했지만, 실제 MOSFET에서는 대개 함께 일어난다. 다음 단계가 둘을 한 식으로 묶는다.

## 통합 모델: 두 그림을 하나로
**[단계 3]** 수 요동과 이동도 요동은 따로 떨어진 현상이 아니다. trap이 전자를 하나 붙잡으면 채널의 전자 수가 줄고(수 요동), 동시에 산화막 가까이에 전하가 하나 생겨 근처 전자를 산란시킨다(이동도 요동). 두 효과가 **같은 사건에서 함께** 일어나므로 서로 상관되어 있다. 이것을 한 식으로 묶은 것이 ==통합 모델==(unified model)이다. 1990년 Hung·Ko·Hu가 제안한 형태가 대표적이며, BSIM의 `fnoiMod = 1`이 이 모델을 바탕으로 한다.

회로에서 보기 쉬운 gate 환산 형태(수 요동 + 상관된 이동도 요동)는 다음과 같다.

$$
S_{v_g}(f) = S_{V_{fb}}(f)\left(1 + \alpha_{sc}\,\mu_{eff}\,C_{ox}\,\frac{I_D}{g_m}\right)^2, \qquad S_{V_{fb}}(f) = \frac{q^2 kT\lambda N_t}{WLC_{ox}^2\,f}
$$

$S_{V_{fb}}$는 단계 2의 수 요동 식 그대로이고, 괄호 안의 둘째 항이 상관된 이동도 요동의 몫이다. $\alpha_{sc}$는 trap 전하 하나가 전자를 얼마나 산란시키는지 나타내는 계수(Coulomb 산란 계수)다.

- **약반전**: $I_D/g_m = nV_T$로 작아 괄호가 거의 1이다. 수 요동만 남고, gate 환산 1/f noise가 바이어스에 거의 무관하다.
- **강반전**: $I_D/g_m \approx V_{ov}/2$가 커져 괄호가 커진다. $V_{ov}$를 올릴수록 gate 환산 1/f noise가 늘어난다.

단계 1의 간이식 $K/(C_{ox}WLf)$는 이 바이어스 의존을 상수 $K$ 하나에 묶어 둔 것이다. 그래서 같은 소자라도 바이어스를 바꿔 측정하면 $K$가 달라 보인다. 간이식의 $K$를 옮겨 쓸 때 어떤 바이어스에서 뽑은 값인지 확인해야 하는 이유다.

Hung 모델은 trap 하나가 만드는 전류 변화를 "전자 수 변화 + 산란 변화"로 쓰고, 그 제곱을 펼친 세 항을 채널을 따라 적분한다. 세 항이 다음 절 `fnoiMod = 1` 식의 NOIA(수 요동), NOIB(두 효과의 교차항, 곧 상관), NOIC(이동도 요동)에 대응한다.

## 시뮬레이터 모델의 noise 모드
**[단계 4]** 회로 시뮬레이터는 단계 2·3의 물리를 계산하기 쉬운 경험식으로 바꿔 쓴다. 가장 오래된 SPICE 형태부터 보자.

$$
S_{i_d}(f) = \frac{KF \cdot I_D^{AF}}{C_{ox} L^2 f^{EF}}
$$

$AF$, $EF$는 보통 1 근처다. $AF = 1$이고 포화에서 $g_m^2 = 2\mu C_{ox}(W/L)I_D$로 나누면 gate 환산 값은 $KF/(2\mu C_{ox}^2 WL f)$가 된다. 면적과 주파수에 대한 의존성 $1/(WLf)$는 간이식과 같고, $C_{ox}$와 이동도는 계수 쪽에 묶인다. 그래서 간이식의 $K$와 SPICE의 $KF$는 같은 숫자가 아니다.

BSIM4 모델은 noise 계산 방식을 모드 파라미터로 고른다. 같은 소자라도 어느 모드를 썼는지에 따라 noise 값이 달라지므로, 비교할 때는 모드부터 확인한다. 아래 식의 세부 항과 단위 환산 상수는 BSIM 버전마다 조금씩 다르므로, 실제 값을 옮길 때는 사용하는 버전의 매뉴얼을 기준으로 한다.

**Thermal noise (`tnoiMod`)**

- `tnoiMod = 0` (전하 기반): 채널 반전 전하로 noise를 계산한다.

$$
S_{i_d} = \frac{4kT}{R_{ds}(V) + \dfrac{L_{eff}^2}{\mu_{eff}\,|Q_{inv}|}}\cdot \text{NTNOI}
$$

  $Q_{inv}$는 채널 전체의 반전 전하, $R_{ds}$는 source·drain 직렬 저항, NTNOI는 보정 계수다. 직렬 저항을 무시하면 $4kT\mu|Q_{inv}|/L^2$이 되고, 포화 장채널에서 $4kT\cdot\tfrac{2}{3}g_m$과 같은 값이 된다.
- `tnoiMod = 1` (holistic): 채널 noise를 source 쪽 전압원 $\overline{v_d^2}$와 drain 전류원 $\overline{i_d^2}$ 두 개로 나눠 넣는다. source 쪽 전압원이 gate로 유도되는 noise와 상관된 성분을 나타낸다.

$$
\overline{v_d^2} = \frac{4kT\,V_{dseff}}{I_{ds}}\,\theta_{tnoi}^2,\qquad
\overline{i_d^2} = \frac{4kT\,V_{dseff}}{I_{ds}}\left[g_{ds} + \beta_{tnoi}\,(g_m + g_{mbs})\right]^2 - \overline{v_d^2}\,(g_m + g_{ds} + g_{mbs})^2
$$

$$
\beta_{tnoi} = \text{RNOIA}\left[1 + \text{TNOIA}\cdot L_{eff}\left(\frac{V_{gsteff}}{E_{sat}L_{eff}}\right)^2\right],\qquad
\theta_{tnoi} = \text{RNOIB}\left[1 + \text{TNOIB}\cdot L_{eff}\left(\frac{V_{gsteff}}{E_{sat}L_{eff}}\right)^2\right]
$$

  $V_{dseff}$는 포화를 반영한 유효 $V_{DS}$, $V_{gsteff}$는 유효 overdrive, $E_{sat}$은 속도 포화 전기장이다. 둘째 식의 뺄셈은 source 쪽 전압원이 drain으로 전해지는 몫을 빼 주어, 두 원천을 합한 drain noise가 첫째 괄호 항이 되도록 한 것이다. 두 극한에서 앞 단계와 이어진다.

- $V_{DS} \to 0$: $g_m, g_{mbs} \to 0$이고 $V_{dseff}/I_{ds} = 1/g_{ds}$이므로 합이 $4kT\,g_{ds}$, 곧 저항의 Johnson noise다.
- 포화, 긴 채널: $g_{ds} \approx 0$, $V_{dseff} \approx V_{ov}$, $I_{ds} = g_mV_{ov}/2$이므로 합이 $8kT\,\beta_{tnoi}^2 g_m$이다. RNOIA의 기본값 0.577($\approx 1/\sqrt3$)이면 $4kT\cdot\tfrac{2}{3}g_m$, 곧 $\gamma = 2/3$이다.
- TNOIA·TNOIB 항은 overdrive가 커서 속도 포화가 강한 짧은 채널에서 noise가 커지는 것을 반영한다.

> 주의: 위 `tnoiMod = 1` 식은 BSIM4의 한 버전 형태를 옮긴 것이다. 버전에 따라 항의 구성, 계수 이름과 기본값, 속도 포화 보정의 꼴이 다르고, 이후 버전에는 다른 thermal noise 모드도 추가되었다. 이 식은 "두 원천으로 나눠 넣고, 극한에서 앞 단계 식으로 돌아간다"는 구조를 이해하는 용도로 보고, 실제 값은 사용하는 모델 버전의 매뉴얼을 따른다.

**Flicker noise (`fnoiMod`)**

- `fnoiMod = 0` (간이식): 앞의 SPICE형 식이다(단계 1에 해당).

$$
S_{i_d}(f) = \frac{\text{KF}\cdot I_{ds}^{\text{AF}}}{C_{oxe}\,L_{eff}^2\,f^{\text{EF}}}
$$

- `fnoiMod = 1` (통합 모델): 단계 3의 Hung 모델이다. 반전 정도에 따라 연속적으로 바뀐다. 구조는 다음과 같다.

$$
S_{i_d}(f) = \frac{kT\,q^2\,\mu_{eff}\,I_{ds}}{A_{bulk}C_{oxe}L_{eff}^2 f^{\text{EF}}\cdot 10^8}\left[\text{NOIA}\ln\frac{N_0+N^*}{N_l+N^*} + \text{NOIB}(N_0-N_l) + \frac{\text{NOIC}}{2}(N_0^2-N_l^2)\right] + \frac{kT\,I_{ds}^2\,\Delta L_{clm}}{W_{eff}L_{eff}^2 f^{\text{EF}}\cdot 10^8}\cdot\frac{\text{NOIA}+\text{NOIB}N_l+\text{NOIC}N_l^2}{(N_l+N^*)^2}
$$

  $N_0$, $N_l$은 source 끝과 drain 끝의 반전 전하 밀도, $N^*$는 trap 응답에 관련된 상수, NOIA·NOIB·NOIC는 trap 밀도에 관련된 계수, $\Delta L_{clm}$은 채널 길이 변조 구간이다. 첫 항이 채널 안의 기여(앞 절의 세 항), 둘째 항이 포화 영역 끝단의 기여다.

> 주의: 간이식의 $K$, `fnoiMod = 0`의 KF, `fnoiMod = 1`의 NOIA·NOIB·NOIC는 서로 다른 식의 계수다. 같은 소자라도 숫자를 서로 옮겨 쓸 수 없다. 또 이런 계수는 공정마다, 같은 공정에서도 NMOS·PMOS와 바이어스에 따라 크게 다르다. 이 장의 숫자는 예제다.

## 하나의 trap: RTS와 Lorentzian
**[단계 5]** 단계 1–4는 trap이 아주 많아 평균된다고 가정했다. 소자가 아주 작으면 그 가정이 깨져 trap 하나가 전체를 지배할 수 있다. 그 trap이 전자를 잡으면 전류가 한 단계 바뀌고, 놓으면 돌아온다. 전류가 두 값 사이를 무작위로 오가는 ==RTS==(random telegraph signal)다.

잡혀 있는 평균 시간을 $\tau_e$(방출까지), 비어 있는 평균 시간을 $\tau_c$(포획까지), 전류 단계 크기를 $\Delta$라고 하자. 이런 신호의 PSD는 ==Lorentzian== 모양이다.

$$
S(f) = \frac{4\Delta^2\tau^2}{(\tau_c+\tau_e)\left[1 + (2\pi f\tau)^2\right]}, \qquad \frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_c} + \frac{1}{\tau_e}
$$

모서리 주파수 $1/(2\pi\tau)$ 아래에서는 평평하고, 위에서는 $1/f^2$로 떨어진다. 전체 분산은 $\Delta^2\tau_c\tau_e/(\tau_c+\tau_e)^2$로, 잡혀 있는 시간과 비어 있는 시간이 같을 때 가장 크다.

1/f noise는 바로 이 Lorentzian들의 합이다. trap들이 산화막 속 여러 깊이에 있어 시간 상수가 넓은 범위에 고르게(로그 척도로) 퍼져 있으면, 모서리 주파수가 다른 Lorentzian들이 겹쳐 그 사이에서 1/f가 된다.

[[lab:rts]]

설계에서 RTS가 중요한 이유는 **분포의 꼬리** 때문이다. 대부분의 픽셀은 평균적인 1/f noise를 보이지만, 몇몇 픽셀의 SF에는 영향이 큰 trap이 하나 있어 read noise가 몇 배나 크다. 수백만 픽셀 중 그런 픽셀이 얼마나 있는지가 화질을 좌우한다. CDS는 Lorentzian 모서리가 CDS 간격보다 훨씬 낮은 trap은 잘 지우지만, 비슷한 시간 상수의 trap은 지우지 못한다(13장). 물리는 CIS Pixel Device Physics 교재의 read noise 장이 자세히 다룬다.

## FD 주변의 다른 원천
FD에서 직접 생기는 noise는 SF noise와 달리 **전하로 바로 들어온다.** 그래서 전자 수로 바꿀 때 $C_{gs}$ 되먹임 보정 없이 그 전하가 곧 입력 환산 값이다(앞의 표). 대표 후보는 다음과 같다.

- **Reset noise**: reset을 놓을 때 남는 무작위 전하. 크기는 $\sqrt{kT/C}$이며 12장에서 유도한다. CDS로 지워진다.
- **FD 경로 저항의 Johnson–Nyquist noise**: FD 확산, contact, 금속 배선, 켜진 reset 스위치의 저항은 각각 $4kTR$을 낸다. FD와 고정 전원 사이의 경로(켜진 reset 스위치 등)는 FD 전체 전하를 흔들고, FD 내부의 직렬 경로는 FD 안의 위치마다 전위 차이를 만든다. 켜진 reset 스위치의 noise가 용량에 남은 결과가 곧 kT/C이므로 둘을 따로 더하지 않는다.
- **암전류 shot noise**: FD나 포토다이오드로 새어 드는 전류 $I$는 낱개 전자로 오므로 흔들린다. PSD는 $2qI$이고, 쌓인 전자 수 $N$의 흔들림은 $\sqrt{N}$이다.
- **접합 G–R noise**: FD 접합 공핍 영역의 trap(띠 간격 가운데 근처의 결함 준위)은 전자–정공 쌍을 만들고(생성) 없앤다(재결합). 이것이 접합 누설 전류의 한 기구이고, 그 흔들림이 ==G–R noise==(generation–recombination noise)다. 한 종류의 trap이 지배하면 시간 상수 $\tau$ 하나의 Lorentzian이 된다.

$$
S_N(f) = \frac{4\,\overline{\delta N^2}\,\tau}{1 + (2\pi f\tau)^2}
$$

  생성 전류는 공핍 영역의 **부피**에 비례하는 성분과, 접합 가장자리(STI 측벽, 표면)의 **둘레**에 비례하는 성분으로 나뉜다. 그래서 같은 면적의 접합이라도 공핍 부피와 둘레 길이에 따라 기여가 달라진다. 온도에 강하게 의존한다.
- **접합·계면 trap의 RTS 누설**: trap 하나가 누설 경로를 켰다 껐다 하면 누설 전류가 두 값 사이를 오간다. 이런 픽셀은 암신호가 프레임마다 깜빡인다(RTS 누설, blinking pixel). SF의 RTS와는 위치가 다르다. SF의 trap은 채널 전류를 흔들어 $g_m$을 거쳐 보이고, 접합의 trap은 FD 전하에 바로 쌓인다.
- **contact·금속–반도체 계면의 trap**: FD contact(금속·실리사이드와 Si의 계면)의 trap은 (1) 접촉 저항을 흔들거나, (2) 점유 전하가 바뀌며 FD 전위에 결합되거나, (3) trap을 거친 누설(G–R, RTS)을 만든다. FD는 SF gate에 연결된 고임피던스 node라 유지 구간에 DC 전류가 거의 흐르지 않으므로, (1)의 전압 변동 $\delta V \approx I_{dc}\,\delta R$은 작고 (2)·(3)이 주로 문제가 된다.
- **GIDL·GISL**: 꺼진 TG·RST의 gate 가장자리에서 생기는 누설(gate-induced drain/source leakage)도 FD로 전자를 흘려 넣는다. 일반 접합 누설과 온도·바이어스 거동이 달라 따로 본다. 평균 전류는 FD 전압을 서서히 옮기고(droop, 09장), 그 흔들림은 shot noise처럼 쌓인다.

> 주의: 같은 trap이나 같은 누설이 여러 이름으로 불리기도 한다. 측정한 누설 전류에 이미 G–R·RTS·GIDL 성분이 섞여 있을 수 있으므로, 합칠 때는 기구별로 나눠 한 현상을 두 번 더하지 않는다. 또 누설 계열은 시간에 따라 전하가 쌓이는 과정이라 정상 과정의 PSD 하나로만 다루기 어렵다. CDS 뒤에는 두 표본 사이에 쌓인 몫이 남는다.

## 핵심 정리
- noise는 RMS(또는 분산)로 말하고, 독립 원천은 분산끼리 더한다(RSS).
- read noise [e⁻] = 출력 noise 전압 / 같은 관측점의 CG. CG가 크면 같은 회로 noise가 더 적은 전자에 해당한다.
- PSD는 1 Hz당 분산, ASD는 그 제곱근. 분산은 PSD 아래 면적이다.
- thermal(Johnson–Nyquist) noise: 저항 $4kTR$, 채널 $4kT\gamma g_{d0}$ (포화 장채널 $\gamma \approx 2/3$), gate 환산 $4kT\gamma/g_m$.
- $g_m$은 전류, W/L, 반전 정도로 키우며 각각 대가가 있다($g_m/I_D$ 설계).
- noise 식은 손계산 → 물리 그림 → 통합 모델 → 시뮬레이터 모델 → 개별 trap 순으로 확장된다.
- 1/f noise: 간이식 $K/(C_{ox}WLf)$, 물리는 수 요동(McWhorter)과 이동도 요동(Hooge), 둘을 묶은 통합 모델은 강반전에서 바이어스 의존을 만든다. thermal과 만나는 곳이 corner다.
- CG는 FD 용량 network로 정해지며, C_gs는 Miller로 줄여 더한다. 그러나 SF noise를 전자 수로 바꿀 때는 C_gs 전체를 포함한 실제 용량을 쓴다.
- 시뮬레이터 noise 값은 tnoiMod·fnoiMod에 따라 달라진다. 각 모드는 극한에서 앞 단계 식으로 돌아간다.
- trap 하나는 Lorentzian PSD를 만들고, 많이 겹치면 1/f가 된다. 작은 소자에서는 RTS가 noise 분포의 꼬리를 만든다.
- FD에 전하로 직접 들어오는 원천(reset, 경로 저항, 누설 shot, G–R, RTS 누설, GIDL)은 그 전하가 곧 입력 환산 값이다.