# 전하 보존과 전하→전압

:::goals
- 떠 있는 node에서는 전하가 보존된다는 사실 하나로 여러 현상을 설명할 수 있다.
- 변환 이득(conversion gain)을 계산하고, 그것이 왜 중요한지 안다.
- 두 커패시터를 연결할 때 전압이 어떻게 맞춰지고 에너지가 어디로 가는지 안다.
- Miller 효과로 용량이 작아 보이거나 커 보이는 이유를 설명할 수 있다.
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## 한 문장으로
Reset을 놓은 FD처럼 **어디로도 전류가 흘러 나갈 길이 없는 node에서는 전하가 그대로 보존된다.** 이 단순한 규칙 하나가 변환 이득, 전하 재분배, 용량성 결합, Miller 효과를 모두 설명한다.

## 전자 하나는 몇 µV일까
FD에 전자 N개가 들어오면 전하 $-qN$이 추가된다. FD의 용량이 $C_{FD}$이면 전압이 이만큼 내려간다.

$$
\Delta V_{FD} = -\frac{qN}{C_{FD}}, \qquad \text{CG} = \frac{q}{C_{FD}}
$$

전자 하나가 만드는 전압을 ==변환 이득==(conversion gain, CG)이라고 한다. 전자의 전하는 $q = 1.6\times10^{-19}$ C이므로, $C_{FD} = 1$ fF이면 전자 하나가 약 **160 µV**를 만든다. FD 뒤의 회로가 전압을 $A$배로 옮기면 출력에서 본 CG는 $A$를 곱한 값이다.

[[lab:cg]]

CG가 크면 좋은 점이 있다. 뒤쪽 회로의 noise가 같아도, 그것을 "전자 몇 개에 해당하는가"로 환산하면 작아진다. 그래서 어두운 장면을 잘 찍으려면 FD를 작게 만든다. 대신 같은 전압 범위에 담을 수 있는 전자 수가 줄어든다. 두 요구를 함께 맞추려고 상황에 따라 FD 용량을 바꾸는 dual conversion gain 구조가 쓰인다(소자 교재 FD 장).

> 주의: $C_{FD}$는 정확한 상수가 아니다. 접합 용량이 전압에 따라 변하므로(03장) 신호가 크면 CG도 조금 달라진다. CG를 말할 때는 어느 동작점, 어느 관측 위치에서의 값인지 함께 적자.

## 두 커패시터를 연결하면
전압이 다른 두 커패시터를 스위치로 연결해 보자. 물통 두 개를 관으로 잇는 것과 같다. 물(전하)은 그대로 있고 수위(전압)만 같아진다.

$$
V_f = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}
$$

[[lab:share]]

놀라운 점은 **에너지는 보존되지 않는다**는 것이다. 연결하는 동안 전류가 스위치를 지나며 열을 낸다. 잃는 에너지는 다음과 같고, 스위치 저항 값이 들어 있지 않다.

$$
\Delta E = \frac{1}{2}\,\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\,(V_1 - V_2)^2
$$

저항이 작으면 큰 전류가 짧게, 크면 작은 전류가 길게 흐를 뿐 잃는 양은 같다. 이 성질은 12장에서 "kT/C noise는 저항과 무관하다"는 결론으로 다시 만난다. FD에 추가 용량을 연결해 CG를 낮추는 동작, 스위치를 끌 때 채널의 전자가 양쪽으로 나뉘는 현상(08장)이 모두 전하 재분배다.

## 옆에서 움직이면 따라 움직인다
떠 있는 node에 커패시터 하나가 연결되어 있고, 그 반대쪽이 $\Delta u$만큼 움직인다고 하자. node는 다른 용량들과 함께 그 움직임을 나눠 받는다.

$$
\Delta v = \frac{C_c}{C_c + C_{rest}}\,\Delta u
$$

$C_c$는 움직이는 쪽과 이어진 결합 용량, $C_{rest}$는 고정된 쪽으로 이어진 나머지 용량이다. Reset gate나 transfer gate가 움직일 때 FD 전압이 살짝 튀는 ==feedthrough==가 바로 이 식이다.

## Miller 효과: 함께 움직이면 작아 보인다
커패시터 양쪽이 **함께** 움직이면 그 커패시터가 요구하는 전하가 달라진다. 입력과 출력 사이에 용량 $C$가 있고, 출력이 입력의 $A$배로 움직인다면, 입력에서 본 실효 용량은 이렇다.

$$
C_{in} = C\,(1 - A)
$$

Source follower의 $C_{gs}$가 좋은 예다. 이득이 $A = 0.85$라면 FD가 움직일 때 source도 0.85배 따라 움직인다. $C_{gs}$ 양 끝의 전압 차이는 15%밖에 변하지 않으니, FD가 보는 $C_{gs}$는 원래의 0.15배다. 반대로 이득이 음수인 반전 증폭기에서는 $1-A$가 1보다 커져 작은 용량이 크게 보인다. 흔히 말하는 ==Miller 증폭==이다.

[[lab:miller]]

> 주의: 실효 용량을 쓸 때 가장 흔한 실수는 **두 번 반영**하는 것이다. 회로 전체를 그대로 시뮬레이션할 때는 $C_{gs}$가 이미 실제 연결로 들어가 있다. 거기에 $C_{gs}(1-A)$를 또 더하면 틀린다. 실효 용량은 회로를 한 node로 줄여서 손계산할 때만 쓴다.

## 떠 있는 node의 전압은 무엇이 정하나
Reset이 끝난 FD처럼 전류가 흐를 길이 없는 node에서는 "DC 동작점"을 구하는 방법이 달라진다. 오래 기다리면 커패시터 전류는 0이 되지만, 그것만으로는 전압이 정해지지 않는다. **그 node에 전하가 얼마나 남아 있는가**가 함께 정해야 한다. 회로 시뮬레이터가 이런 node에 초기값을 요구하거나 아주 큰 저항으로 접지하는 것도 이 때문이다.

## 핵심 정리
- 떠 있는 node에서는 전하가 보존된다.
- 변환 이득 $\text{CG} = q/C_{FD}$. 1 fF이면 전자 하나에 약 160 µV.
- 두 커패시터를 연결하면 전하는 그대로, 전압은 가중 평균으로 맞춰지고, 에너지 일부는 저항과 무관하게 열이 된다.
- 반대쪽이 움직이면 용량 비율만큼 따라 움직인다(feedthrough).
- 양 끝이 함께 움직이면 실효 용량은 $C(1-A)$. 손계산에서만 쓰고 두 번 반영하지 않는다.