# CDS의 주파수 응답

:::goals
- 두 번 읽어 빼는 CDS를 주파수에 대한 필터로 볼 수 있다.
- CDS가 낮은 주파수(1/f)를 누르고, 백색 noise는 오히려 두 배로 만드는 이유를 안다.
- 두 표본의 간격 T가 1/f 잔여와 백색 성분에 어떻게 작용하는지 안다.
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## 한 문장으로
CDS는 "같은 것을 두 번 읽어 빼면, 두 번 다 들어 있는 것은 사라진다"는 아이디어다. 01장과 12장에서 reset noise가 이렇게 지워지는 것을 보았다. 그렇다면 시간에 따라 흔들리는 noise는 어떨까? **천천히 변하는 noise는 두 표본에 거의 같이 들어 있어 지워지고, 빠르게 변하는 noise는 지워지지 않는다.**

## 빼기는 필터다
시간 $t$와 $t+T$의 두 표본을 빼는 일은 주파수로 보면 다음 전달함수를 곱하는 것과 같다.

$$
H_{CDS}(f) = 1 - e^{-j2\pi fT}, \qquad |H_{CDS}(f)|^2 = 4\sin^2(\pi f T)
$$

이 가중의 모양을 보면 CDS의 성격이 보인다.

- **낮은 주파수**($fT \ll 1$): 약 $4\pi^2 f^2 T^2$로, $f^2$에 비례해 눌린다. 느린 흔들림과 1/f noise가 크게 줄어든다.
- **$f = 1/(2T)$ 근처**: 가중이 최대 4다. 이 주파수의 성분은 두 표본에서 부호가 반대라 빼면 오히려 커진다.
- **$f = 1/T$의 배수**: 가중이 0이다. 한 주기를 정확히 건너뛰어 두 표본이 같아지기 때문이다.

[[lab:cds]]

> 주의: CDS를 "noise를 절반으로 줄인다"처럼 한 숫자로 말할 수 없다. 주파수마다 효과가 다르다. 이 가중은 PSD에 곱하는 것이며, ASD에 그대로 곱하면 안 된다(11장).

## 백색 noise는 두 배가 된다
두 표본의 간격이 충분히 길면 그 사이 백색 noise는 서로 독립이다. 독립인 두 값을 빼면 분산이 **더해진다**(14장). 그래서 백색 noise의 분산은 CDS 뒤에 두 배, RMS는 $\sqrt{2}$배가 된다. 1-pole 대역 $f_c$를 지난 백색 noise에서는 닫힌형으로 이렇게 된다.

$$
\sigma^2_{CDS} = S_0\,\pi f_c\left(1 - e^{-2\pi f_c T}\right)
$$

$T$가 길면 한 표본 분산($S_0\tfrac{\pi}{2}f_c$)의 두 배에 다가가고, $T$가 아주 짧으면 두 표본이 거의 같아 0에 가까워진다.

## T를 어떻게 고를까
아래 실험에서 백색 noise와 1/f noise를 함께 넣고 T를 바꿔 보자.

[[lab:cdsnoise]]

- T를 줄이면 두 표본이 더 비슷해져 **1/f 잔여가 준다.**
- 하지만 T 안에 신호가 정착하고 전송도 끝나야 한다(06–07장). 너무 줄이면 settling error가 커진다.
- 대역 $f_c$를 좁히면 백색 성분이 줄지만 정착이 느려진다.

결국 CDS 간격과 대역폭은 noise와 정착 사이의 균형점에서 정해진다.

:::deep 정상 과정 가정
위의 해석은 noise의 통계가 시간에 따라 변하지 않는다(정상 과정)는 가정 위에 있다. 실제 readout에서는 reset 직후처럼 회로 상태가 바뀌는 순간이 있어, 두 표본 시점의 noise 통계가 다를 수 있다. 그런 경우는 시간 영역에서 직접 공분산을 따지거나 상세 시뮬레이션으로 확인한다. 또 이미 CDS 이후로 정의된 noise 값에 이 가중을 다시 적용하면 두 번 처리한 것이 된다.
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## 핵심 정리
- CDS의 가중은 $4\sin^2(\pi fT)$: 저주파는 $f^2$로 눌리고, $1/(2T)$ 근처는 4배가 된다.
- 1/f noise와 reset noise 같은 느린·공통 성분이 지워진다.
- 독립인 백색 noise는 분산이 두 배가 된다.
- T와 대역폭은 1/f 잔여, 백색 noise, settling error 사이의 균형으로 정한다.