# 상관과 평균화

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- 두 noise가 함께 움직이는 정도를 상관 계수로 말할 수 있다.
- 상관에 따라 합과 차의 noise가 어떻게 달라지는지 계산할 수 있다.
- 여러 번 읽어 평균하면 독립 성분은 $1/\sqrt{m}$로 줄지만 공통 성분은 남는다는 것을 안다.
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## 한 문장으로
두 noise를 더하거나 뺄 때 결과는 **둘이 얼마나 함께 움직이느냐**에 따라 달라진다. 늘 같이 움직이면 빼서 지울 수 있고, 따로 움직이면 더하든 빼든 분산이 더해진다.

## 상관 계수
두 noise $x$, $y$의 RMS가 $\sigma_1$, $\sigma_2$이고, 둘이 함께 움직이는 정도를 ==상관 계수== $\rho$(−1에서 1)로 나타내면 다음이 성립한다.

$$
\sigma^2(x \pm y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \pm 2\rho\,\sigma_1\sigma_2
$$

- $\rho = 0$(독립): 합이든 차든 $\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$.
- $\rho = 1$(완전히 같이): 합은 $\sigma_1+\sigma_2$, 차는 $|\sigma_1-\sigma_2|$. 크기가 같으면 차는 0이다. **CDS가 reset noise를 지우는 원리**다.
- $\rho = -1$(정반대로): 합이 줄고 차가 커진다.

[[lab:corr]]

## 공분산: 같이 움직이는 정도를 숫자로
상관 계수의 바탕에는 ==공분산==(covariance)이 있다. 두 값이 각자 평균에서 벗어난 양을 곱해 평균한 것이다.

$$
\text{Cov}(x,y) = E\big[(x-\mu_x)(y-\mu_y)\big], \qquad \rho = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}
$$

x가 평균보다 클 때 y도 평균보다 큰 경우가 많으면 곱이 주로 양수라 공분산이 양수다. 반대로 움직이면 음수, 상관이 없으면 0 근처다. 분산은 자기 자신과의 공분산이다($\text{Var}(x) = \text{Cov}(x,x)$).

원천이 여럿이면 모든 쌍의 공분산을 행렬로 모은다. 이것이 ==공분산 행렬== $\Sigma$다. 원천들에 가중치 $w$를 곱해 더한 값의 분산은 행렬 한 번의 계산으로 나온다.

$$
\text{Var}\Big(\sum_i w_i x_i\Big) = w^{\mathsf T}\Sigma\,w = \sum_i\sum_j w_i w_j\,\text{Cov}(x_i, x_j)
$$

CDS는 가중치 $w = (1, -1)$인 경우다. 그래서 $\text{Var}(x - y) = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 - 2\,\text{Cov}(x,y)$이고, 두 표본의 공분산이 클수록 CDS 뒤의 분산이 작다.

[[lab:scatter]]

같은 noise를 시간 $t$와 $t+T$에 잰 두 표본의 공분산을 ==자기 공분산== $R(T)$이라고 한다. 그러면 CDS 분산은 다음과 같다.

$$
\text{Var}_{CDS} = 2\big[R(0) - R(T)\big]
$$

느린 noise는 $R(T)$가 $R(0)$에 가까워 거의 지워지고, 빠른 noise는 $R(T) \approx 0$이라 분산이 두 배가 된다. 자기 공분산과 PSD는 서로 Fourier 변환 관계라서(Wiener–Khinchin 정리), 13장의 주파수 가중 $4\sin^2(\pi fT)$와 이 식은 같은 이야기를 시간과 주파수에서 한 것이다.

## 여러 번 읽어 평균하기
같은 신호를 m번 읽어 평균하면, 서로 독립인 noise는 분산이 $1/m$, RMS가 $1/\sqrt{m}$로 준다. 그런데 모든 읽기에 **똑같이** 들어가는 성분 $c$는 평균해도 그대로다.

$$
\sigma_{avg} = \sqrt{\sigma_c^2 + \frac{\sigma_i^2}{m}}
$$

m을 아무리 늘려도 $\sigma_c$ 아래로는 내려가지 않는다. 평균화의 효과를 기대할 때는 먼저 "이 noise가 정말 읽을 때마다 독립인가"를 따져야 한다.

[[lab:average]]

## 어떤 것이 공통 성분인가
- **같은 회로를 공유하는 성분**: 여러 픽셀이 같은 column 회로, 같은 기준 전압, 같은 ramp를 쓰면 그 회로의 noise는 픽셀들에 공통으로 들어간다. 픽셀끼리 평균해도 줄지 않고, 행 단위의 줄무늬(row noise)처럼 보이기도 한다.
- **느린 noise**: 1/f noise는 시간적으로 서로 가까운 읽기에 비슷하게 들어간다. 빠르게 여러 번 읽어 평균해도 기대만큼 줄지 않는다. 여러 번 표본을 뜨는 기법(multiple sampling)이 1/f에서 효과가 줄어드는 이유다.
- **같은 이력을 가진 성분**: 한 번의 reset에서 남은 전하는 그 뒤의 모든 읽기에 공통이다.

> 주의: 이미 평균이 끝난 값에 다시 $1/\sqrt{m}$을 적용하거나, 공통 경로의 noise에 평균 이득을 주지 않도록 처리 단계를 기록해 두자.

## 핵심 정리
- 공분산은 같이 움직이는 정도, $\rho$는 그것을 σ로 정규화한 값이다.
- 여러 원천의 가중합 분산은 $w^{\mathsf T}\Sigma w$. CDS는 $w = (1,-1)$.
- CDS 분산 = $2[R(0) - R(T)]$ — 13장 주파수 가중의 시간 영역 표현이다.
- 같이 움직이는($\rho \approx 1$) 성분은 빼서 지울 수 있다(CDS).
- 독립 성분은 m번 평균으로 $1/\sqrt{m}$로 줄고, 공통 성분은 남는다.
- 공유 회로, 느린 noise, 같은 이력은 공통 성분이 되기 쉽다.